INTEGRALES TRIGONOMETRICAS

Las integrales trigonométricas son aquellas que se componen de un solo termino el cual es una función trigonométrica y/o sus inversas.

Para comenzar, veamos las fórmulas con las que trabajaremos:

 ∫ sen(u) du= - cos (u) + c

 ∫ cos(u) du= sen (u) + c

 ∫ tan(u) du= In/cos(u) + c

Simbolismos de las fórmulas:

 ∫ = integral

sen, cos o tan= función trigonométrica

(u)= función

du= derivada de la función

Como pudiste observar en las fórmulas, las funciones con las comenzaremos a trabajar son las más básicas de la trigonometría (seno, coseno y tangente), al comprender estas podremos avanzar a las siguientes funciones de la trigonometría (cot, csc y sec).

Aunque pueda verse como algo difícil, realmente no lo es, solo necesitamos poner atención y no distraernos con nada, incluso con números "trampa". Para que entiendas mejor esto, pon atención a la explicación con ejemplos:

a.- Aquí tenemos una función a integrar, para resolverla, lo primero que haremos será identificar que función trigonométrica estamos usando, para asi poder saber que formula usaremos.

 1)  ∫ sen (2x) dx  

 ∫ cos(u) du= sen (u) + c

 ∫ sen(u) du= - cos (u) + c

 ∫ tan(u) du= In/cos(u) + c

b.- Enseguida, identificaremos los datos que necesitamos para resolver esta integral. Recuerda que du es la derivada de la función (u). 

(En caso de tener dudas sobre como derivar, puedes acceder a un video con una explicación en entrada de este blog, "Derivadas sin romperte el cráneo")

 1)  ∫ sen (2x) dx  

(u) = (2x)

du= 2

c = constante

c.- A continuación, los que haremos será igualar valores en nuestra integral.

 1)  ∫ sen (2x) dx  

- Lo que haremos es usar la derivada que usamos, esta puede ir antes o después de la función

(  ∫ 2 sen (2x) dx ) o ( ∫ sen (2x) 2)

Personalmente, recomendamos la primera forma de acomodo.

Una igualación sencilla es: 7 = 7, ¿qué pasa aquí? tenemos los mismos valores de ambos lados, y esto es justo lo que haremos en este paso:

1) 1/2  ∫ 2 sen (2x) dx

Si prestas atención, podrás ver que utilizamos el resultado de la derivada para igualar nuestra integral. Tenemos el numero 2 en ambos lados, lo único que hacemos con el dos de fuera, es convertirlo en fracción poniendo un 1 como numerador y dejando el numero 2 como denominador.     

d.- Al tener nuestra igualación , ya podemos aplicar nuestra formula. Recuerda que la forma que usaremos depende de la función que vayamos a derivar en este caso:  ∫ sen(u) du= - cos (u) + c

1) 1/2  ∫ 2 sen (2x) dx = 1/2 - cos (2x) + c

Y ESO ES TODO!!

Así de sencillo es resolver una integral trigonométrica. Sin embargo, muchos estudiantes cometen un gran error en sus exámenes, y este es el distraerse con números "trampa". Mira qué hacer con ellos:

Cuando una derivada se presenta asi: ( ∫ 5tan (10x) dx), lo que debemos hacer con el 5, es simplemente sacarlo para despejar tan.

5  ∫ tan (10x) dx

Una vez afuera, seguimos los pasos ya explicados anteriormente.

a.- 

5  ∫ tan (10x) dx

 ∫ sen(u) du= - cos (u) + c

 ∫ cos(u) du= sen (u) + c

 ∫ tan(u) du= In/cos(u) + c

b.- 

5  ∫ tan (10x) dx

(u) = 10x

du= 10

c.- 

5  ∫  10 tan (10x) dx = sin igualar

10/5  ∫  10 tan (10x) dx = igualada

d.- Solución:

10/5  ∫ 10 tan (10x) dx = 10/5 In/cos (10x) + c

Lo único que cambia es la igualación, solo se pone el numero "trampa" como numerador y dejamos nuestra derivada como denominador. 

Te dejamos unos ejemplos para que puedas observar aún mejor la resolución:

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Una vez entendido lo anterior, podemos pasar a la función secante (sec), cosecante (csc) y cotangente (cot).

Realmente los pasos no cambias, lo único que varía son las funciones a aplicar. Estas son:

 ∫ csc (u) du = Inlcsc (u) + cot (u) + c

 ∫ sec (u) du = Inlsec (u) - tan (u)l + c

 ∫ cot (u) du = Inlsen (u)l + c

Los datos simbolizan lo mismo:

 ∫ = integral

sen, cos o tan= función trigonométrica

(u)= función

du= derivada de la función

Te dejamos algunos ejemplos de estos para que veas que se resuelven exactamente igual, lo único que cambia son las fórmulas y las funciones:

Ahora, integrales trigonométricas por sustitución: